martes, 11 de junio de 2013

INVESTIGACION DE DERIVADAS


Derivada

Aplicaciones de la Derivada:



La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad, etc.

Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo tendremos que valuar la pendiente antes y después de cero, es decir, en sus vecindades de este punto.

Evaluando en y´(-0.01) tenemos:

y´(-0.01)= -0.004

Evaluando para x después de cero tenemos:
y´(0.01)= 0.004

 como la derivada alrededor de cero cambia de positivo negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en (0,0).
Teorema del Valor Medio:

Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal que:
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2. Como x2 es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular para todo x y la función es continua para todo x. También es derivable en todo valor real siendo la derivada:
Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2), queda finalmente:
Como queríamos probar.

Teorema de Rolle:
Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un número c entre a y b tal que:

F'(c)= 0
Ejemplo:

f(x)=x3+ 4x2-7x-10
en el intervalo [-1, 2]

f'(x)=3x2+ 8x-7

f(-1)=(-1)3+4(-1)2-7(-1)-10=-1+4+7-10=0

f(2)=23+4.22-7.2-10=8+16-14-10=0

Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de existir un c tal que:

Donde hay que despreciar la segunda solución por no pertenecer al intervalo considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del intervalo ]a, b[ tal que:
Ejemplo del Teorema de Cauchy

f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x
g'(x)= 1- sen x

Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en x=ro dicho punto no pertenece al intervalo abierto y como además:
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da para encontrar el valor de c, es decir:
Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y siendo, por tanto, válidos ambos.
Integrales
Integrales Indefinidas:

Se llama integral indefinida de una función f(x), al conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se simboliza Esta expresión se lee «integral de efe de equis diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante de integración.

Integrales definidas:


Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y b (a estos dos valores se les denomina límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.


TEMAS DE LA UNIDAD #1”


“CALCULO DIFERENCIAL”


El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresión oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.


En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.


Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumentos modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de FX en cada punto X. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.


ANTIDERIVADAS


En cálculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.


Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.


Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:


F O F(X)DX  


El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.


EJEMPLO:


Una primitiva de la función F(X)=COS(X) en R es la función F(X)=SIN(X) ya que:


Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.


“METODO DE INTEGRACION POR SUSTITUCION”


El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.


“SOLUCION POR FRACCIONES PARCIALES”


El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.


CASOS:


Se distinguen 4 casos:


Factores lineales distintos 


Donde ningún par de factores es idéntico.


Factores lineales repetidos 


Donde los pares de factores son idénticos.


Factores cuadráticos distintos 


Donde ningún par de factores es idéntico.


Factores cuadráticos repetidos 


Observación: Es posible construir ejemplos que combinan los cuatro casos anteriores.


“POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA”


La integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones 


Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de Pitágoras e identidades trigonométricas.


Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, primeramente sacaremos   factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.


“ECUACION DIFERENCIAL”


Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones diferenciales se dividen en:


·         Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.


·         Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.


ECUACION DIFERENCIAL ORDINARIA:


En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente abreviada "EDO") es la que contiene una función desconocida de una variable independiente y relaciona con sus derivadas:


·         una sola variable independiente (a diferencia de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran derivadas parciales de varias variables), y


·         una o más de sus derivadas respecto de tal variable.


Recursos de la física, la ingeniería, la economía, la meteorología y en aplicaciones como las de modelado en ciencias, se las estudia en diversas áreas (como geometríamecánica y astronomía) y perspectivas. Matemáticamente es de crucial interés el conjunto de funciones que satisfacen la ecuación y establecen sus soluciones. Sólo las ecuaciones diferenciales más sencillas admiten soluciones dadas por fórmulas explícitas (como las lineales asociadas a una teoría desarrollada prácticamente por completo). No obstante, pueden determinarse algunas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin requerirse su formulación exacta. Clave para resolver la mayoría de las ecuaciones diferenciales no-lineales de sumo interés en numeroso casos. Casos carentes de una fórmula auto-contenida para su solución que se suple con la aproximada numéricamente con el auxilio crucial de las computadoras.

La matemática pura centra el foco formal en la solución, su existencia y si es o no única. La aplicada controla la validez de los métodos para la solución numéricamente aproximada y el rigor de las justificaciones con que se los sustenta.
La teoría de los sistemas dinámicos prioriza el análisis cualitativo de sistemas descriptos por ecuaciones diferenciales mientras se han venido sumando numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado dado de precisión.


ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES


En matemáticas una ecuación en derivadas parciales (a veces abreviado como EDP) es una relación entre una función matemática u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto de esas variables. Las ecuaciones en derivadas parciales se emplean en la formulación matemática de procesos de la física y otras ciencias que suelen estar distribuidos en el espacio y el tiempo. Problemas típicos son la propagación del sonido o del calor, la electrostática, la electrodinámica, la dinámica de fluidos, la elasticidad, la mecánica cuántica y muchos otros. Se las conoce también como ecuaciones diferenciales parciales. Participaron en su estudio los D'alambert, Fourier, matemáticos de la época napoleónica


“TEMAS DE LA UNIDAD #2”


DETERMINACION DE LA INTEGRAL DEFINIDA


La integración es un concepto fundamental del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral es una generalización de la suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños.


El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la ciencia también; se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.


Fue usado por primera vez por científicos como ArquímedesRené DescartesIsaac NewtonGottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos.


Notación 


Isaac Newton usaba una pequeña barra vertical encima de una variable para indicar integración, o ponía la variable dentro de una caja. La barra vertical se confundía fácilmente con   o  , que Newton usaba para indicar la derivación, y además la notación "caja" era difícil de reproducir por los impresores; por ello, estas notaciones no fueron ampliamente adoptadas.


La notación moderna de las integrales indefinidas fue presentada por Gottfried Leibniz en 1675.2 3 Para indicar suma (en latín, "suma" o "total"), adaptó el símbolo integral, "∫", a partir de una letra S alargada. La notación moderna de la integral definida, con los límites arriba y abajo del signo integral, la usó por primera vez Joseph Fourier en Mémoires de la Academia Francesa, alrededor de 1819–20, reimpresa en su libro de 1822.4 5 En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido.6


Integral de Rieman


La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto de particiones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita


Esto divide al intervalo [a,b ] en n sub intervalos [xi−1xi], cada uno de los cuales es "etiquetado" con un punto especificado ti de; [xi−1xi]. Sea Δi = xixi−1 la anchura del subintervalo i; el paso de esta partición etiquetada es el ancho del subintervalo más grande obtenido por la partición, maxi=1…n Δi. Un sumatorio de Riemann de una función f respecto de esta partición etiquetada


Así cada término del sumatorio es el área del rectángulo con altura igual al valor de la función en el punto especificado del subintervalo dado, y de la misma anchura que la anchura del subintervalo. La integral de Riemann de una función f sobre el intervalo [a,b] es igual a S si:


Cuando las etiquetas escogidas dan el máximo (o mínimo) valor de cada intervalo, el sumatorio de Riemann pasa a ser un sumatorio de Darboux superior (o inferior), lo que sugiere la estrecha conexión que hay entre la integral de Riemann y la integral de Darboux.


TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO


El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.


El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac NewtonIsaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.


Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.


 


4 comentarios:

  1. omg con su foto ustedes muy bien chavos se rifan.

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  2. me parece que no todo el texto tenia que ir subrayado

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  3. me gusto su blog simplementeb les falto en texto no va con lo subrayado pero esta padre

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  4. esta chido pero porque todo el texto esta subrayado

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